除了介紹卡森規(guī)則進(jìn)行帶寬估算外，本文還解釋了如何根據(jù)邊帶或信號(hào)總功率計(jì)算所需的傳輸帶寬。

在本系列的早期，我們深入探討了由單頻消息信號(hào)（也稱為調(diào)頻波）產(chǎn)生的調(diào)頻波頻譜。正如我們所學(xué)，這個(gè)頻譜由無(wú)限多個(gè)邊帶組成。然而，只有有限數(shù)量的這些邊帶包含顯著的功率。在確定傳輸信號(hào)所需的帶寬時(shí)，只需要考慮顯著的邊帶。

但在這個(gè)語(yǔ)境中，“顯著”是什么意思？我們?nèi)绾位卮疬@個(gè)問(wèn)題將有效地決定我們?cè)谠O(shè)計(jì)中愿意接受的失真水平。我們可以通過(guò)容納更多的頻譜分量來(lái)減少失真。

在本文中，我們將討論兩種定義調(diào)頻信號(hào)有效帶寬的不同方法。然后，我們將學(xué)習(xí)卡森法則，這是一種簡(jiǎn)單且相當(dāng)準(zhǔn)確估算方法。盡管這些方法基于對(duì)調(diào)頻波的頻譜分析，但它們也可以用于找到其他調(diào)頻信號(hào)的傳輸帶寬。

調(diào)頻波

對(duì)于任意調(diào)制指數(shù)β，調(diào)頻波的一階調(diào)幅方程可以寫為：

$$={}^{}{}^{}\cos +$$

公式 1。

其中 Ac 是載波波的振幅。

第 n 階旁瓣分量由第一類貝塞爾函數(shù) Jn(β) 進(jìn)行縮放。圖 1 顯示了調(diào)制指數(shù)β為 1 時(shí)調(diào)頻波的典型頻譜。

圖 1。 單音調(diào)消息信號(hào) FM 信號(hào)的典型頻譜。圖片由 Steve Arar 提供

嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，F(xiàn)M 波的帶寬是無(wú)限的。這從公式 1 中很明顯。然而，對(duì)于大的 n，Jn(β)可以近似為：

公式 2.

這意味著 Jn(β)對(duì)于足夠大的 n 值趨近于零。因此，F(xiàn)M 波的所有旁瓣并不都包含顯著功率。

基于相對(duì)邊帶幅度的有效帶寬

一種定義調(diào)頻信號(hào)有效帶寬的方法是忽略相對(duì)幅度低于設(shè)定閾值的邊帶。在數(shù)學(xué)上，我們定義傳輸帶寬為：

$$=$$

公式3

fm 是消息信號(hào)的頻率

nmax 表示在 |Jn(β)| 超過(guò)定義閾值的最高整數(shù)索引。

在公式 3 中，我們乘以 2nmax 乘以 fm，因?yàn)轭l譜分量以 fm 的間隔分布（見圖 1）。對(duì)于給定的 β，nmax 的值可以很容易地從 Jn(β) 的表格值中確定。例如，考慮 β = 2 的 Jn(β) 以及表 1 中顯示的各種 n 值。

表 1。 Jn(β) 對(duì)于 β = 2 和各種 n.

假設(shè)我們將閾值設(shè)置為未調(diào)制載波的 1%。滿足|Jn(β)| > 0.01 的最高 n 值是 nmax = 4，對(duì)于β = 2，導(dǎo)致有效帶寬 BW = 8fm。

或者，我們也可以將顯著性閾值設(shè)為 1%。圖 2 顯示了 nmax 作為β的連續(xù)函數(shù)，適用于 1%和 10%標(biāo)準(zhǔn)。

圖 2。 顯著邊帶對(duì)數(shù)作為 β 的函數(shù)。圖片由 A. B. Carlson 提供版權(quán)。

對(duì)于 1%閾值，帶寬通常過(guò)于保守。另一方面，10%閾值會(huì)導(dǎo)致輕微但可察覺(jué)的失真。對(duì)于大多數(shù)應(yīng)用，nmax 值在這兩個(gè)極限之間通常是合適的。

在某些情況下，特定閾值的有效帶寬作為 BW/Δf 對(duì)β的圖提供。圖 3 顯示了 1%閾值的這種圖。 

圖 3。 帶寬（BW/Δf）與調(diào)制指數(shù)β的關(guān)系圖 。 圖片由西蒙·海金提供

基于功率的方法定義有效帶寬

我們也可以將有效帶寬定義為包含特定比例總功率的頻率范圍。例如，如果所選帶寬捕獲了 FM 波 98%或更多的功率，那么失真通常被認(rèn)為是可接受的。

讓我們使用表 1 中的數(shù)據(jù)來(lái)確定β=2 時(shí)捕獲 FM 波 98%或更多功率的帶寬。FM 波的功率與 N 邊帶是：

$$={}^{}{}^{}$$

公式4。

FM 信號(hào)的總功率由下式給出：

$$=$$

公式 5。

我們想要確定滿足以下條件的最小值 N：

$$\ge \times \to {}^{}{}^{}\ge$$

公式 6。

將表格 1 中的數(shù)據(jù)代入并應(yīng)用性質(zhì)|J-n(β)| = |Jn(β)|，我們得到：

$$+++\dots +\ge$$

公式 7。

滿足上述方程的最小 N 值為 N = 3，導(dǎo)致在β = 2 時(shí)，有效帶寬為 BW = 6fm。

卡森規(guī)則

有趣的是，如果我們考慮不同β值下 FM 波 98%或更多功率的帶寬，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)顯著邊帶的數(shù)量始終為 N = β + 1。這就是卡森規(guī)則。

根據(jù)卡森規(guī)則，包含調(diào)頻波98%或更多功率的傳輸帶寬為：

$$=+$$

公式 8。

上述公式也可以寫成：

$$=+$$

公式9。

其中 Δf 是最大頻率偏移。請(qǐng)注意，公式 8 和 9 也適用于 β ? 1 的情況。在這種情況下，我們有一個(gè) 窄帶調(diào)頻波 ，其帶寬為 BW ≈ 2fm。

示例 1：確定調(diào)頻波的帶寬

考慮一個(gè) 2 kHz 的載波，它被一個(gè) 150 Hz 的正弦信號(hào)調(diào)頻。峰值頻率偏移 (Δf) 是 20 Hz。這個(gè)調(diào)頻波的近似帶寬是多少？對(duì)于 fm = 150 Hz 和 Δf = 20 Hz，我們有：

公式10。

這是一個(gè)窄帶調(diào)頻信號(hào)。應(yīng)用卡森法則，我們得到帶寬：

$$\approx +=+=$$

公式 11。

這接近于我們從窄帶調(diào)頻分析中預(yù)期的 2fm = 300 Hz 的值。

圖 4 展示了通過(guò)快速傅里葉變換（FFT）對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理后，在載波頻率附近的已調(diào)信號(hào)頻譜。 

圖 4. 對(duì)于Δf = 20 Hz，fm = 150 Hz 和β = 0.133 的調(diào)頻波頻譜。圖片由 Steve Arar 提供

注意，光標(biāo)框中旁瓣分量的幅度與 J1(0.133) = 0.0665 的值一致。

讓我們?cè)儆?fm = 2 Hz 和Δf = 50 Hz 重復(fù)這個(gè)練習(xí)。那么帶寬會(huì)是多少？

當(dāng) fm = 2 Hz 且 Δf = 50 Hz 時(shí)，我們得到 β = 25。應(yīng)用卡森公式，帶寬的估計(jì)值為：

$$\approx +=+=$$

公式12。

此情況下的模擬輸出頻譜顯示在圖5中，該圖顯示的帶寬與卡森公式一致。

圖 5。 對(duì)于 Δf = 50 Hz、fm = 2 Hz 和 β = 25 的調(diào)頻波頻譜。圖片由 Steve Arar 提供

調(diào)頻帶寬 對(duì)于任意消息信號(hào)

在上述討論中，我們使用貝塞爾函數(shù)表驗(yàn)證了調(diào)頻信號(hào)的卡森規(guī)則。一個(gè)單音調(diào)制的調(diào)頻波并不能準(zhǔn)確地反映現(xiàn)實(shí)世界中的情況。通常，消息信號(hào)包含各種頻率。

對(duì)于任意消息信號(hào)，沒(méi)有直接的公式來(lái)確定調(diào)頻頻譜。然而，在確定調(diào)頻波的帶寬時(shí)，可以將單音調(diào)制的調(diào)頻分析結(jié)果推廣到非正弦調(diào)制信號(hào)。在這種情況下，我們定義頻偏比（D）為最大頻率偏移（Δf）除以消息信號(hào)中存在的最大調(diào)制頻率（W）：

公式13

拋離比類似于調(diào)幅信號(hào)的調(diào)制指數(shù)。將β替換為 D，我們可以確定顯著邊帶分量(nmax)的數(shù)量，并使用以下公式估計(jì)所需帶寬：

$$=$$

公式14。

在這種情況下，我們知道 nmax 取決于 D。我們不必使用曲線和表格來(lái)確定 nmax，而是可以通過(guò)將β替換為 D 并將 fm 替換為 W 來(lái)應(yīng)用卡森規(guī)則：

$$=+=+$$

公式15。

實(shí)際上，當(dāng)我們處理帶限且具有有限功率的一般調(diào)制信號(hào)時(shí)，我們通常使用卡森規(guī)則作為估計(jì) FM 帶寬的一種便捷方法。

示例 2：廣播 FM 電臺(tái)的帶寬

美國(guó)聯(lián)邦通信委員會(huì)（FCC）允許商業(yè)調(diào)頻廣播的頻率偏移為 Δf = 75 kHz。最高音頻頻率通常假定為 W = 15 kHz，從而得到偏移率：

公式16。

應(yīng)用卡森規(guī)則，調(diào)頻信號(hào)帶寬為：

$$=+=+\times =$$

公式17。

實(shí)際上，廣播調(diào)頻頻道寬度為 200 kHz，這略大于上述估計(jì)值。其目的是降低接收機(jī)的選擇性要求。

總結(jié)

調(diào)頻波傳輸中顯著旁瓣的數(shù)量取決于預(yù)期應(yīng)用和保真度要求。有幾種方法用于確定調(diào)頻波傳輸所需的帶寬。特別是，卡森規(guī)則是一種方便的估計(jì)方法，能提供合理的精度。