2.3 泛函與抽象空間

　　牛頓說：“把簡單的問題看得復雜，可以發(fā)現(xiàn)新領域;把復雜的問題看得簡單，可以發(fā)現(xiàn)新規(guī)律?！倍鴱臍v史的角度來看，一個學科的發(fā)展也亦是如此。隨著學科的發(fā)展，最開始的一個主干方向會不斷衍生出各自相對獨立的分支，這也就是所謂“把簡單的問題看得復雜”的過程。然而，一旦學科發(fā)展到一定程度之后，某些分支學科又開始被抽象綜合起來，這也就是所謂“把復雜的問題看得簡單”的過程。例如，在很長一段時間里，物理學家們都把電和磁看成是兩種獨立的物理現(xiàn)象在研究，當學科研究積累到一定程度時，麥克斯韋就創(chuàng)立了電磁學從而完成了物理學中的一次大綜合。而在數(shù)學發(fā)展的歷史中，幾何與代數(shù)也曾經(jīng)在很長的一段時間里是彼此獨立的。直到笛卡爾引入了直角坐標系的概念之后，人們才開始建立了一種代數(shù)與幾何之間的聯(lián)系，也就是所謂的解析幾何。泛函分析也是對以往許多數(shù)學問題或者領域進行高度抽象和綜合的結(jié)果，其主要研究對象之一是抽象空間。其實在學習線性代數(shù)的過程中，讀者已經(jīng)建立了一種從矩陣到線性方程組之間的一種聯(lián)系。而在泛函分析中，實數(shù)系、矩陣、多項式以及函數(shù)族這些看似關聯(lián)不大的概念都可以抽成空間。由于泛函分析是一門比較晦澀抽象的學問，讀者應該注意聯(lián)系以往學習中比較熟悉的一些已知的、具體的概念，從而幫助自己理解那些全新的、抽象的概念。此外，需要說明的是本部分內(nèi)容的重點在于有關定義或者概念的介紹，希望讀者能夠努力領會這些定義或者概念。

　　2.3.1 線性空間