來源：深度學(xué)習(xí)基礎(chǔ)與進(jìn)階、極市平臺

范數(shù)簡單可以理解為用來表征向量空間中的距離，而距離的定義很抽象，只要滿足非負(fù)、自反、三角不等式就可以稱之為距離。
LP范數(shù)不是一個范數(shù)，而是一組范數(shù)，其定義如下：

根據(jù)LP范數(shù)的定義我們可以很輕松的得到L1范數(shù)的數(shù)學(xué)形式：

通過上式可以看到，L1范數(shù)就是向量各元素的絕對值之和，也被稱為是"稀疏規(guī)則算子"（Lasso regularization）。那么問題來了，為什么我們希望稀疏化？稀疏化有很多好處，最直接的兩個：

• 特征選擇
• 可解釋性

L2范數(shù)是最熟悉的，它就是歐幾里得距離，公式如下：

L2范數(shù)有很多名稱，有人把它的回歸叫“嶺回歸”（Ridge Regression），也有人叫它“權(quán)值衰減”（Weight Decay）。以L2范數(shù)作為正則項可以得到稠密解，即每個特征對應(yīng)的參數(shù)ww都很小，接近于0但是不為0；此外，L2范數(shù)作為正則化項，可以防止模型為了迎合訓(xùn)練集而過于復(fù)雜造成過擬合的情況，從而提高模型的泛化能力。

引入PRML一個經(jīng)典的圖來說明下L1和L2范數(shù)的區(qū)別，如下圖所示：
如上圖所示，藍(lán)色的圓圈表示問題可能的解范圍，橘色的表示正則項可能的解范圍。而整個目標(biāo)函數(shù)（原問題+正則項）有解當(dāng)且僅當(dāng)兩個解范圍相切。從上圖可以很容易地看出，由于L2范數(shù)解范圍是圓，所以相切的點有很大可能不在坐標(biāo)軸上，而由于L1范數(shù)是菱形（頂點是凸出來的），其相切的點更可能在坐標(biāo)軸上，而坐標(biāo)軸上的點有一個特點，其只有一個坐標(biāo)分量不為零，其他坐標(biāo)分量為零，即是稀疏的。所以有如下結(jié)論，L1范數(shù)可以導(dǎo)致稀疏解，L2范數(shù)導(dǎo)致稠密解。
從貝葉斯先驗的角度看，當(dāng)訓(xùn)練一個模型時，僅依靠當(dāng)前的訓(xùn)練數(shù)據(jù)集是不夠的，為了實現(xiàn)更好的泛化能力，往往需要加入先驗項，而加入正則項相當(dāng)于加入了一種先驗。

• L1范數(shù)相當(dāng)于加入了一個Laplacean先驗；
• L2范數(shù)相當(dāng)于加入了一個Gaussian先驗。

如下圖所示：

Dropout是深度學(xué)習(xí)中經(jīng)常采用的一種正則化方法。它的做法可以簡單的理解為在DNNs訓(xùn)練的過程中以概率pp丟棄部分神經(jīng)元，即使得被丟棄的神經(jīng)元輸出為0。Dropout可以實例化的表示為下圖：

• 在Dropout每一輪訓(xùn)練過程中隨機丟失神經(jīng)元的操作相當(dāng)于多個DNNs進(jìn)行取平均，因此用于預(yù)測時具有vote的效果。
• 減少神經(jīng)元之間復(fù)雜的共適應(yīng)性。當(dāng)隱藏層神經(jīng)元被隨機刪除之后，使得全連接網(wǎng)絡(luò)具有了一定的稀疏化，從而有效地減輕了不同特征的協(xié)同效應(yīng)。也就是說，有些特征可能會依賴于固定關(guān)系的隱含節(jié)點的共同作用，而通過Dropout的話，就有效地組織了某些特征在其他特征存在下才有效果的情況，增加了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的魯棒性。

批規(guī)范化（Batch Normalization）嚴(yán)格意義上講屬于歸一化手段，主要用于加速網(wǎng)絡(luò)的收斂，但也具有一定程度的正則化效果。
這里借鑒下魏秀參博士的知乎回答中對covariate shift的解釋（https://www.zhihu.com/question/38102762）
注：以下內(nèi)容引自魏秀參博士的知乎回答大家都知道在統(tǒng)計機器學(xué)習(xí)中的一個經(jīng)典假設(shè)是“源空間（source domain）和目標(biāo)空間（target domain）的數(shù)據(jù)分布（distribution）是一致的”。如果不一致，那么就出現(xiàn)了新的機器學(xué)習(xí)問題，如transfer learning/domain adaptation等。而covariate shift就是分布不一致假設(shè)之下的一個分支問題，它是指源空間和目標(biāo)空間的條件概率是一致的，但是其邊緣概率不同。大家細(xì)想便會發(fā)現(xiàn)，的確，對于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的各層輸出，由于它們經(jīng)過了層內(nèi)操作作用，其分布顯然與各層對應(yīng)的輸入信號分布不同，而且差異會隨著網(wǎng)絡(luò)深度增大而增大，可是它們所能“指示”的樣本標(biāo)記（label）仍然是不變的，這便符合了covariate shift的定義。
BN的基本思想其實相當(dāng)直觀，因為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在做非線性變換前的激活輸入值（X=WU+B，U是輸入）隨著網(wǎng)絡(luò)深度加深，其分布逐漸發(fā)生偏移或者變動（即上述的covariate shift）。之所以訓(xùn)練收斂慢，一般是整體分布逐漸往非線性函數(shù)的取值區(qū)間的上下限兩端靠近（對于Sigmoid函數(shù)來說，意味著激活輸入值X=WU+B是大的負(fù)值或正值），所以這導(dǎo)致后向傳播時低層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的梯度消失，這是訓(xùn)練深層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)收斂越來越慢的本質(zhì)原因。而BN就是通過一定的規(guī)范化手段，把每層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)任意神經(jīng)元這個輸入值的分布強行拉回到均值為0方差為1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，避免因為激活函數(shù)導(dǎo)致的梯度彌散問題。所以與其說BN的作用是緩解covariate shift，倒不如說BN可緩解梯度彌散問題。

正則化我們以及提到過了，這里簡單提一下歸一化和標(biāo)準(zhǔn)化。歸一化（Normalization）：歸一化的目標(biāo)是找到某種映射關(guān)系，將原數(shù)據(jù)映射到[a,b]區(qū)間上。一般a,b會取[?1,1],[0,1]這些組合。
一般有兩種應(yīng)用場景：

• 把數(shù)變?yōu)?0, 1)之間的小數(shù)
• 把有量綱的數(shù)轉(zhuǎn)化為無量綱的數(shù)

常用min-max normalization：

我們可以這樣簡單地解釋：
歸一化的縮放是“拍扁”統(tǒng)一到區(qū)間（僅由極值決定），而標(biāo)準(zhǔn)化的縮放是更加“彈性”和“動態(tài)”的，和整體樣本的分布有很大的關(guān)系。
值得注意：

• 歸一化：縮放僅僅跟最大、最小值的差別有關(guān)。
• 標(biāo)準(zhǔn)化：縮放和每個點都有關(guān)系，通過方差（variance）體現(xiàn)出來。與歸一化對比，標(biāo)準(zhǔn)化中所有數(shù)據(jù)點都有貢獻(xiàn)（通過均值和標(biāo)準(zhǔn)差造成影響）。

• 提升模型精度：歸一化后，不同維度之間的特征在數(shù)值上有一定比較性，可以大大提高分類器的準(zhǔn)確性。
• 加速模型收斂：標(biāo)準(zhǔn)化后，最優(yōu)解的尋優(yōu)過程明顯會變得平緩，更容易正確的收斂到最優(yōu)解。如下圖所示：

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