運動學模型是機器人運動的數(shù)學表示，它側(cè)重于元件之間的幾何關(guān)系，而忽略了影響運動的外力。運動學模型用于規(guī)劃和控制工業(yè)機器人的路徑。 

正向運動學根據(jù)機器人手臂中每個關(guān)節(jié)的角度確定末端執(zhí)行器的當前位置和方向。計算使用一系列變換矩陣，其中包含關(guān)節(jié)角度、長度和偏移參數(shù)。

變換矩陣從機器人基礎(chǔ)到末端執(zhí)行器按順序相乘。結(jié)果是三維坐標中的位置和末端執(zhí)行器的方向（以角度表示）。反向運動學反轉(zhuǎn)了該過程，根據(jù)末端執(zhí)行器的位置確定所需的關(guān)節(jié)角度，如圖 1 所示。

圖 1.使用正向或反向運動學定義機器人關(guān)節(jié)位置。（圖片：MathWorks）)

Denavit-Hartenberg 公約

Denavit-Hartenberg （DH） 約定是表示機器人幾何和關(guān)節(jié)角度的標準化方法。它詳細介紹了如何將坐標系附加到機器人中的關(guān)節(jié)，從而定義相鄰關(guān)節(jié)之間的相對位置和方向。

如圖 2 所示，每個關(guān)節(jié)或鏈接由四個參數(shù)描述，包括鏈接長度 （a）、鏈接角度 （θ）、鏈接偏移 （d） 和鏈接扭曲 （α）。這四個參數(shù)用于計算每個關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)換矩陣。矩陣可以相乘以確定從機器人底座到末端執(zhí)行器的整體變換?？刂葡到y(tǒng)使用 DH 參數(shù)來計算所需的關(guān)節(jié)角度，以實現(xiàn)所需的末端執(zhí)行器姿勢。

圖 2.DH 參數(shù)示例。（圖片：MDPI 傳感器)

雅可比矩陣

DH 約定可以與雅可比矩陣一起使用，以將聯(lián)合速度與末端執(zhí)行器速度相關(guān)聯(lián)。關(guān)節(jié)速度可以描述旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)速度，以及棱柱關(guān)節(jié)關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)伸展或收縮的速度。

雅可比矩陣 （J） 是偏導數(shù)矩陣，用于描述關(guān)節(jié)速度和末端執(zhí)行器速度之間的關(guān)系。在機器人控制系統(tǒng)中，J 用于將關(guān)節(jié)速度映射到末端執(zhí)行器的速度。

換位 J 允許計算在末端執(zhí)行器上產(chǎn)生所需力所需的關(guān)節(jié)扭矩。在運動規(guī)劃中，J 用于識別和避免機器人失去自由和精確移動能力的奇點。當 J 的行列式變?yōu)榱銜r，就會出現(xiàn)奇點。

奇異

在奇點中，關(guān)節(jié)角度和末端執(zhí)行器位置之間的數(shù)學關(guān)系會斷開，機器人會失去一個或多個自由度。當多個關(guān)節(jié)以阻止機器人向一個或多個方向移動的方式對齊時，就會出現(xiàn)奇點。這可能導致失控、不穩(wěn)定或動作抽搐。通過仔細設(shè)計運動軌跡，可以避免奇點配置。

可作性

奇點是有限可縱性的一種形式。Manipulability （可作性） 衡量機器人根據(jù)當前關(guān)節(jié)配置更改末端執(zhí)行器位置的程度。可縱性是使用 J 的奇異值分解來計算可縱性橢球體的。

可縱性橢球體直觀地表示機器人向不同方向移動的能力。體積較大的橢球體表示更高的可作性。橢球體軸的比率接近 1 表示在所有方向上的可縱性相等，稱為各向同性可縱性。較大的比率表明奇點正在逼近。

總結(jié)

運動方程用于確定從一個姿勢移動到另一個姿勢的最佳軌跡，并避免可能限制機器人運動的奇點等困難。DH 約定是表示機器人的幾何圖形和關(guān)節(jié)角度的標準化方法。雅可比矩陣提供了用于優(yōu)化機器人運動的計算框架。