設(shè)wf₁(a,x)表示，在小波尺度a下的小波變換系數(shù)，p(x)為大于給定閾值T的小波變換系數(shù)概率。推導(dǎo)經(jīng)CCD成像(含實(shí)際噪聲)后邊緣圖像的準(zhǔn)確位置。

　　期望值即是理想邊緣經(jīng)成像系統(tǒng)所得實(shí)際圖像邊緣的準(zhǔn)確位置。

　　對(duì)于離散信號(hào)，設(shè)是圖像邊緣信號(hào)的小波變換系數(shù)，為大于給定閾值T的概率，E是階躍邊緣位置x的期望值，則有：

　　由此得到的小波系數(shù)期望值E即為圖像邊緣的準(zhǔn)確位置。

　　小波變換期望值亞像素定位法求解步驟

　　小波變換期望值亞像素邊緣檢測(cè)具體定位步驟如下：

　　1)選擇一個(gè)小波尺度a，對(duì)給定的數(shù)據(jù)執(zhí)行小波變換;

　　2)求出在小波尺度a下的小波變換系數(shù)的模極大值;

　　3)濾除由噪聲產(chǎn)生的，小波變換系數(shù)中隨小波尺度a的增加而減小的模極大值;

　　4)給定一閾值T，濾除由噪聲與微小細(xì)節(jié)生成的模極大值;

　　5)在模極大值附近，尋找和模極大值同符號(hào)的小波系數(shù)區(qū)間，該區(qū)間內(nèi)的小波變換系數(shù)由式(12)求期望，所得期望值即是圖像邊緣的亞像素位置。

　　理論可證明，小波變換邊緣檢測(cè)定位法不存在原理誤差，同時(shí)具有較強(qiáng)的抗噪性能。有關(guān)試驗(yàn)已表明，在對(duì)光源等環(huán)境條件沒有特殊要求的情況下，其邊緣定位檢測(cè)的精度能夠在0.02個(gè)像素以內(nèi)[5]，驗(yàn)證了理論的正確性。另外，小波變換期望值邊緣檢測(cè)亞像素定位法是建立在信號(hào)小波變換基礎(chǔ)上的，而Mallat方法的提出，使得小波變換的速度大大提高[4]，因此小波變換期望值邊緣檢測(cè)亞像素定位法，無論是在其精度、抗噪性能還是速度等方面，都已有比較優(yōu)越的性能。